一、區(qū)分知識與素養(yǎng)
（一）數(shù)學有用與無用
有很多人認為數(shù)學很重要、很有用，但是同樣也有很多人害怕數(shù)學，質(zhì)疑數(shù)學在生活中的作用。即使是每天和數(shù)學打交道的數(shù)學教師，不少人都感到困惑。
有位教師說：“我除了教數(shù)學，還能干什么？”言下之意，他所學的數(shù)學，除了教學生應(yīng)付考試之外，毫無用處。
一位教師給學生講數(shù)學的重要性，舉例說：“最近買房，是貸款20年劃算，還是貸款30年劃算？是等額還款劃算，還是等本還款劃算？考慮我的工資收入以及工資漲幅，還有通貨膨脹，我算了好幾天，覺得省了不少。”這時，有學生說：“我家里有五套房。”教師和學生談數(shù)學的重要性，學生卻和教師說房子的重要性，說明教師的認識和闡述不到位、沒有說服力，不能讓學生理解和接受。
國外的調(diào)研表明，大多數(shù)人認為在工作生活中用到的只是簡單的小學數(shù)學。對此，如果不服氣，可以做一個試驗：讓你的學生家長（或親戚、朋友）回憶最近一星期的工作和生活中用到了哪些數(shù)學？四則運算、二次函數(shù)、三角函數(shù)、微積分……可以把從小學到大學主要的數(shù)學知識點列一下，讓它們勾選，看結(jié)果如何。
既然這么多人對數(shù)學的有用性提出質(zhì)疑，那么就要去想一想為什么會這樣。事實上，這是因為他們將具體的數(shù)學知識和更抽象的數(shù)學素養(yǎng)相混淆了。
米山國藏有一段敘述，流傳很廣：學生在學校學習的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了；然而，不管他們從事什么工作，那種深深銘刻在心中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。
曹亮吉教授的一個觀點，我很贊同：學數(shù)學學什么？從實用的角度來說，是算術(shù)以及一點點幾何與代數(shù)；從考試角度來說，是背誦、套用公式，做各種計算；但是如果換個角度看，萬事萬物無不隱藏著數(shù)與形以及數(shù)與形的模式。把學習數(shù)學的眼界，從純粹的數(shù)與形以及狹義的規(guī)則與定律提升到隱藏于萬事萬物中的數(shù)與形以及廣義的規(guī)則與定律（模式），數(shù)學便不再是枯燥抽象的，而是似乎很有用、但不知用在哪里的知識。經(jīng)過發(fā)現(xiàn)、轉(zhuǎn)化、解題、溝通以及評析等種種步驟，把數(shù)學與生活以及其他學習領(lǐng)域合在一起，數(shù)學才能變得具體而有用。
數(shù)學知識可能用得少，但是數(shù)學素養(yǎng)時時影響著我們。
（二）科學精神和數(shù)學核心素養(yǎng)
學生的核心素養(yǎng)，是指“學生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。它綜合表現(xiàn)為九大素養(yǎng)：社會責任、國家認同、國際理解；人文底蘊、科學精神、審美情趣；身心健康、學會學習、實踐創(chuàng)新。具體到各個學科，還有各自獨特的核心素養(yǎng)。
其中的科學精神，是指個體在學習、理解、運用科學知識和技能等方面表現(xiàn)的價值標準、思維方式和行為規(guī)范。它包括三個方面：（1）崇尚真知——重點是學習科學技術(shù)知識和成果；掌握基本的科學方法；有真理面前人人平等的意識等。（2）理性思維——重點是尊重事實和證據(jù)，有實證意識和嚴謹務(wù)實的求知態(tài)度；邏輯清晰，能夠運用科學的思維方式認識事物、解決問題、規(guī)范行為等。（3）勇于探究——重點是有百折不撓的探索精神；能夠提出問題、形成假設(shè)，并通過科學方法檢驗求證、得出結(jié)論等。可以說，科學精神是與數(shù)學核心素養(yǎng)關(guān)系最為密切的綜合核心素養(yǎng)。
具體到數(shù)學核心素養(yǎng)，也是三個方面（六個關(guān)鍵詞）：（1）用數(shù)學的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)。（2）用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)。（3）用數(shù)學的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。需要指出的是，數(shù)學核心素養(yǎng)雖然被劃分為三個方面（六個關(guān)鍵詞），但是實則是一個整體。用數(shù)學的眼光觀察世界，即人從外界輸入信息；用數(shù)學的思維分析世界，即人自身處理信息；用數(shù)學的語言表達世界，即人向外界輸出信息。
數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)。現(xiàn)實的問題是，考試的高壓使得教學的絕大多數(shù)時間都花在應(yīng)試上，對學生素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)注較少。筆者認為，對于學生素養(yǎng)，只要教師加以重視，選取合適的教學案例，采用探究的眼光，就無須另外增加課時專門培養(yǎng)，而在日常教學中完全可以逐步滲透。
二、通過案例理解素養(yǎng)
（一）數(shù)學抽象：龜兔賽跑與函數(shù)、不等式
數(shù)學抽象是指，舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或數(shù)學術(shù)語予以表征。
龜兔賽跑的故事是我們很熟悉的。兔子本來跑在前面，但是由于驕傲，路上睡了一覺，結(jié)果輸給了烏龜。作為文學作品，當然要大力渲染兔子的驕傲自滿、烏龜?shù)膱猿植恍傅刃袨椤B(tài)度上的具體細節(jié)。而從數(shù)學角度來看，則可抽象為如圖1所示的行程圖。
