2007年底，我剛從溫州中學(xué)調(diào)入市北中學(xué)，面對(duì)不一樣的學(xué)生和學(xué)校文化，我困惑于：數(shù)學(xué)課該怎么上？學(xué)生的個(gè)性化培育從哪里入手？直到看到沈南鵬（攜程、如家、紅杉資本創(chuàng)始人，曾經(jīng)的全國數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)得主）的這句話“創(chuàng)業(yè)就像做數(shù)學(xué)題，從最簡單的開始”后，頓覺豁然開朗。
從簡單開始，是一種數(shù)學(xué)思維習(xí)慣
正如笛卡兒所說:“按次序進(jìn)行我的思考，從最簡單、最容易認(rèn)識(shí)的對(duì)象開始，一點(diǎn)一點(diǎn)逐步上升，直到認(rèn)識(shí)最復(fù)雜的對(duì)象； 就連那些本來沒有先后關(guān)系的東西，也給它們?cè)O(shè)定一個(gè)次序。”
會(huì)解難題是數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的一個(gè)重要標(biāo)志。解題就是在困難中找出路，其價(jià)值往往不僅僅是答案本身 , 而且在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的 。”
從簡單開始，就是一種探索“怎樣想到解法”的策略。就是在遇到難以入手的問題時(shí)，把問題做適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，造出一個(gè)或幾個(gè)比原問題簡單的或已經(jīng)熟悉易于求解的新問題，再通過對(duì)新問題的考察，發(fā)現(xiàn)解題思路，最終達(dá)到解決原問題的目的。
數(shù)學(xué)解題是一個(gè)把高階復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為低階簡單問題的過程，把繁復(fù)的問題轉(zhuǎn)化成較簡潔的問題以利于迅速找出問題的癥結(jié)并各個(gè)擊破。分類討論、特例探路、著眼于極端情況、爬坡式推理都是典型的從簡單開始的解題思路。
對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有時(shí)候也可以從簡單開始，對(duì)初等、部分、具體、特殊（或極端）情況的考察，往往能夠促進(jìn)對(duì)高等、整體、抽象、一般問題的理解。
比如在課本《統(tǒng)計(jì)估計(jì)》一課中樣本方差公式的分母取樣本容量與 1 的差而不取樣本容量，我覺得不自然，也曾百思不得其解。
不得已我從特殊情況開始想起：當(dāng)樣本容量為 1 時(shí)，如果樣本方差公式中的分母取樣本容量，這時(shí)每一個(gè)樣本的方差都是 0，樣本方差的期望值為 0，這樣對(duì)總體方差的估計(jì)就是一個(gè)極不合理的有偏估計(jì)，而當(dāng)樣本方差公式中的分母取樣本容量與 1 的差時(shí)，這時(shí)每一個(gè)樣本的方差是不存在的，說明單個(gè)數(shù)據(jù)無法估計(jì)總體數(shù)據(jù)的離散程度，這時(shí)方差的分母取樣本容量與 1 的差更為合理。
人們常用“冰冷”來形容公式，但對(duì)最特殊的情況的考察，讓我看到公式冰冷的面孔后豐富多彩的故事。
從最簡單開始有時(shí)并不是認(rèn)識(shí)真理最便捷的途徑，最初于我是被迫的，是不得已而為之。如今從簡單開始已經(jīng)成為我的思維習(xí)慣，是我掌握數(shù)學(xué)知識(shí)來龍去脈的最有效途徑。
從簡單開始，是一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法
雖然早就知道授之以魚不如授之以漁，但因?yàn)樘诤鯇W(xué)生的成績，有時(shí)候我也很著急，恨不得將考試所能考到的所有難題，都給學(xué)生講一遍。
在試卷分析課上我也曾抱怨：“這個(gè)題目，我前天上課剛講過，你們有認(rèn)真聽嗎？為什么有這么多同學(xué)做不出？”
在辦公室里我也曾埋怨學(xué)生學(xué)不會(huì)，上課死氣沉沉，學(xué)生只知道記而不會(huì)想，“ 談什么舉一反三，舉一保一也做不到”。
痛定思痛，“把數(shù)學(xué)課上得簡單些，使數(shù)學(xué)課擁有生機(jī)”成為我的教學(xué)追求。
在操作層面上，歸納為六個(gè)“簡”和六個(gè)“立足”：
第一，課堂引入要簡潔。
導(dǎo)語設(shè)計(jì)精練，方式靈活，時(shí)間緊湊，立足于激發(fā)學(xué)生的興趣。
第二，選用例題要簡明。
例題題意明了，方法典型，講得明白，想得清楚，立足于激活學(xué)生的思維。一方面簡單是數(shù)學(xué)的一種本質(zhì)回歸，最簡單的問題往往蘊(yùn)涵著最深刻的思想，另一方面正是因?yàn)樵磫栴}的簡單，才能夠?yàn)槲覀兲峁┮晖茝V的空間。
第三，教師用語要簡練。
每個(gè) 學(xué)生都不愿意僅僅通過被動(dòng)接收老師發(fā)布的信息去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 誰都想要做主人。教師的講永遠(yuǎn)代替不了學(xué)生的學(xué)，有時(shí)候教師教學(xué)過程中講得越細(xì)越多，學(xué)生需要記憶的東西就越多，學(xué)生自主思考的主動(dòng)性就越少。藏巧于拙，教師少講或不講，恰恰能讓學(xué)生充分暴露思維過程，把思考的時(shí)間留給學(xué)生，把表達(dá)的空間還給學(xué)生，把成功的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生，更能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望。
要以學(xué)定教，課堂中老師重要的是聽，了解哪些內(nèi)容需要教師講，哪些不需要教師講，教師用語要單純明快，詞少意多，立足于引發(fā)學(xué)生的思考。
第四，總結(jié)歸納要簡短。
立足于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，總結(jié)不是泛泛而談，只有簡短才有針對(duì)性，并利于記憶。
第五，技術(shù)運(yùn)用要簡樸。
發(fā)揮計(jì)算機(jī)快速運(yùn)算、精確作圖、動(dòng)態(tài)模擬的功能，提高課堂效率，立足于促進(jìn)學(xué)生的理解。
第六，問題解決從簡單開始。
立足于讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程。
教得簡單是為了學(xué)得靈活，從簡單開始可以形成更豐富的思維層次結(jié)構(gòu)，更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓更多的學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來。
從簡單開始，是一種培育數(shù)學(xué)創(chuàng)新素養(yǎng)的教育理念
原閘北區(qū)芷江中路幼兒園以幼兒自主學(xué)習(xí)為核心的低結(jié)構(gòu)活動(dòng)帶給我啟發(fā)，引起我共鳴。芷江中路幼兒園的“目標(biāo)內(nèi)隱、活動(dòng)開放、結(jié)果多元”的低結(jié)構(gòu)教學(xué)活動(dòng)，能夠“讓孩子表現(xiàn)自己，讓教師發(fā)現(xiàn)孩子 。”
在普通高中，低結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，是否也能在高中生的創(chuàng)新素養(yǎng)培育中“讓學(xué)生展示自己的創(chuàng)新素養(yǎng)，讓教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新品質(zhì)”呢？
我曾遇到這樣兩位數(shù)學(xué)老師，一位是成熟的數(shù)學(xué)老師，在課上按照事先的預(yù)設(shè)一步一步實(shí)施知識(shí)教學(xué)，老師能預(yù)先料到學(xué)生課堂中提出的每一個(gè)問題，老師的最后一句話講完正好下課鈴聲響起，似乎一切盡在老師的掌控之中。
另一位是年輕老師，上課經(jīng)常出差錯(cuò)，一個(gè)意料不到的學(xué)生提問就打亂了他原先的預(yù)設(shè)流程，似乎讓他不知所措，學(xué)生在課堂上的一 些想法往往比老師還高明。
考試結(jié)果出乎意料，成熟老師的學(xué)生考不過年輕老師的學(xué)生。前面那位成熟老師的課堂就是一種高結(jié)構(gòu)教育活動(dòng)，老師控制整個(gè)課堂的流程與走向，重視知 識(shí)的內(nèi)在邏輯，其優(yōu)勢是能在較短的時(shí)間內(nèi)富有系統(tǒng)性地完成學(xué)科教學(xué)。
后面這位年輕老師的課堂，具有低結(jié)構(gòu)教育活動(dòng)的雛形，課堂教學(xué)氛圍民主、開放，依賴學(xué)生的類似原生態(tài)下的發(fā)現(xiàn)和生成實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)，其優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)得到充分保障。
“高中數(shù)學(xué)微創(chuàng)新”是我在市北中學(xué)開設(shè)的一門選修課， 嘗試從簡單開始用低結(jié)構(gòu)教育活動(dòng)培育學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)。
在選修課中，教學(xué)活動(dòng)是從學(xué)生或老師提出的問題出發(fā)而形成的動(dòng)態(tài)、開放的過程，我有意識(shí)地忽視學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性，重視下列創(chuàng)新思維的養(yǎng)成：
一是質(zhì)疑。疑問是學(xué)習(xí)新知識(shí)、產(chǎn)生新思想、發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)的起點(diǎn)。用甲方法得到A，用乙方法得到B， A 與 B 矛盾，甲、乙方法中必有一種是錯(cuò)的。
二是類比。類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性相似，推斷這兩個(gè)對(duì)象另外的 一些屬性也相似，是一種從特殊到特殊的合情推理方法。對(duì)象 A 具有屬性 a、b、c、d，聯(lián)想到對(duì)象 B 也具有屬性 a、b、c， 對(duì)象 B 也許也具有屬性 d ？
三是歸納。歸納，是指通過對(duì)特例的分析來引出普遍結(jié)論的一種推理形式。設(shè)Mi（i＝1， 2，⋯⋯，n）是要研究對(duì)象 M 的特例或子集，M1 具有性質(zhì) P， M2 具有性質(zhì) P，⋯⋯，Mn 具有性質(zhì) P，猜想 M 中的其他元素也具有性質(zhì) P。
四是考慮逆向問題。在解決了原問題，并對(duì)原問題有足夠的了解的情況下，去考慮逆向問題。具有性質(zhì) A1, A2, A3,⋯⋯的事物具有性質(zhì)B，具有性質(zhì)B, A2, A3,⋯⋯的 事物也具有性質(zhì)A1嗎？
五是從不同的角度看問題。從不同的角度看問題，答案往往不止一個(gè)。已知真命題若 A 成立則 B 成立，那么是否有比 A 弱的條件使 B 也成立？若 A 成立，是否能得到比 B 更強(qiáng)的結(jié)論？是否有多種策略，由 A 到 B ？好的數(shù)學(xué)開放題能夠給學(xué)生提供多種視角，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的很好的載體。
如在一節(jié)課中，我將一個(gè)不等式刪去右邊的代數(shù)式，將另一個(gè)不等式刪去一個(gè)條件，要求學(xué)生自己補(bǔ)成兩個(gè)正確的恒不等式。這樣做使問題的起點(diǎn)變低，思維層次變多，答案變得不唯一，策略變得多樣化，就使學(xué)生很容易“下手”，課堂教學(xué)活動(dòng)也從高結(jié)構(gòu)變?yōu)榈徒Y(jié)構(gòu)，由封閉變?yōu)殚_放，從教證明變?yōu)閷W(xué)發(fā)明。看到學(xué)生如數(shù)學(xué)家般編制出一個(gè)個(gè)不等式，讓學(xué)生體會(huì)到創(chuàng)造的喜悅，應(yīng)該是這節(jié)課最大的成功。
《簡單》，是我們自己創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)雜志
2009年12月，市北中學(xué)第一本學(xué)生數(shù)學(xué)刊物《簡單》創(chuàng)刊了。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣總是和成功的喜悅緊密相連的，如獨(dú)立地解決一道數(shù)學(xué)難題、作出一個(gè)數(shù)學(xué)猜想、想出一種新的解題方法等，都能使學(xué)生從這些“成功”中體驗(yàn)到創(chuàng)造的喜悅，激發(fā)起更高的學(xué)習(xí)熱情。
我鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的感悟以小論文的形式記錄下來，學(xué)生自己寫稿、審稿、編輯、排版，編輯成《簡單》。雜志中有數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)小說、數(shù)學(xué)游 戲攻略等等，文章雖然“簡單 ”，但都有學(xué)生自己的想法，對(duì)學(xué)生本人來說是一種創(chuàng)新，這些創(chuàng)作能喚起同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)問題的思考。
姜同學(xué)就是通過為《簡單》寫稿成長起來的學(xué)生，她關(guān)于幻方的論文的第一稿寫了滿滿六頁紙，很是得意，但我要求她重寫，理由是“這些填圖方法別人都有了，你的文章中一定要有自己的想法 ”。一定要讓人看到她獨(dú)特的想法，她的文章的方向從介紹幻方的填法轉(zhuǎn)到探索確定一個(gè)幻方的條件，內(nèi)容也從六頁到四頁，最后定稿為兩頁，惜墨如金、字字斟酌，在一次次痛苦中完成了第二稿、第三稿，直到第六稿，最終被中學(xué)數(shù)學(xué)核心期刊《數(shù)學(xué)教學(xué)》刊用。
她說：“有一天中午當(dāng)我和幾位同學(xué)探討在論文中占有整整一頁紙分量的性質(zhì)五的證明時(shí)，我突然發(fā)現(xiàn)，那個(gè)曾一面臨數(shù)學(xué)難題便唯唯諾諾，只待在一邊傾聽講解的普通女生敢于和班中數(shù)學(xué)高手大聲討論了。”
陳同學(xué)在高中階段寫了兩篇論文，第一篇是《簡單》第一期的第一篇，第二篇是《簡單》第二期的第一篇。他的第二篇論文，在全球582個(gè)參賽隊(duì)中脫穎而出，獲得第三屆丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)唯一的金獎(jiǎng)。
在獲獎(jiǎng)感言中，他說：“有人覺得數(shù)學(xué)枯燥，而我沉醉于突然有了想法時(shí)那電光石火的一瞬所帶來的快樂。”《簡單》記錄著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)單純的熱愛。我這么想，給學(xué)生的數(shù)學(xué)教育不只是為了眼前的考試，還有數(shù)學(xué)帶來的詩與遠(yuǎn)方。
（作者系上海市數(shù)學(xué)特級(jí)教師，上海市市北中學(xué)校長助理）
